Index / Onderwijs / Hoe te rekenen met de Taylor Series

Share This Post

Onderwijs

Hoe te rekenen met de Taylor Series

Een Taylor-serie is een numerieke methode te vertegenwoordigen een bepaalde functie. Deze methode heeft voor toepassing bij vele technische gebieden. In sommige gevallen, zoals warmteoverdracht differentiële analyseresultaten in een vergelijking die

Advertisement



Een Taylor-serie is een numerieke methode te vertegenwoordigen een bepaalde functie. Deze methode heeft voor toepassing bij vele technische gebieden. In sommige gevallen, zoals warmteoverdracht differentiële analyseresultaten in een vergelijking die de vorm van een Taylor serie past. Een Taylor-serie kan vertegenwoordigen ook een integraal als de integraal van die functie niet analytisch bestaat. Deze voorstellingen zijn geen exacte waarden, maar het berekenen van meer termen in de serie zal de aanpassing nauwkeuriger te maken.

Wat je nodig hebt

Rekenmachine

Kies een centrum voor de Taylor-serie. Dit nummer is arbitrair, maar het is een goed idee om een ​​centrum waar sprake is van symmetrie in de functie of wanneer de waarde van het midden vereenvoudigt de wiskunde van het probleem te kiezen. Als u berekent de Taylor-representatie van f (x) = sin (x), een goede center te gebruiken is a = 0.

Bepaal het aantal termen die u wilt berekenen. Hoe meer termen die u gebruikt, hoe nauwkeuriger uw voorstelling zijn, maar omdat een Taylor serie is een oneindige reeks, is het onmogelijk om alle mogelijke termen bevatten. De zonde (x) voorbeeld zal gebruik maken van zes termen.

Bereken de derivaten u nodig heeft voor de serie. Voor dit voorbeeld moet u alle derivaten te berekenen naar de zesde derivaat. Omdat de Taylor-serie begint bij 'n = 0, "je moet ook de" 0 "derivaat, dat is gewoon de oorspronkelijke functie.
0 derivaat = sin (x)
1 = cos (x)
2 = sin (x)
3 = -cos (x)
4 = sin (x)
5 = cos (x)
6 = sin (x)

Bereken de waarde van elk derivaat in het centrum u hebt gekozen. Deze waarden zijn de tellers voor de eerste zes termen van de Taylorreeks.
sin (0) = 0
cos (0) = 1
sin (0) = 0
-cos (0) = -1
sin (0) = 0
cos (0) = 1
sin (0) = 0

Gebruik de afgeleide berekeningen en het centrum van de Taylor reeks voorwaarden te bepalen.
1e termijn; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1
2e termijn; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1!
3e termijn; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2!
4 termijn; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 03/03!
5 termijn; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4!
6 termijn; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 05/05!
Taylor-serie voor de zonde (x):
sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...

Laat de nul-termen in de serie en de uitdrukking algebraïsch vereenvoudigen om de vereenvoudigde weergave van de functie te bepalen. Dit zal een totaal andere serie, zodat de waarden voor "n" voorheen vervallen.
sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
sin (x) = x / 1! - (X ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ...
Aangezien de signalen afwisselend positief en negatief, moet de eerste component van de vereenvoudigde vergelijking (-1) ^ n zijn, omdat er geen even getallen in de reeks. De term (-1) ^ n resulteert in een negatief teken wanneer n oneven is en een positief teken wanneer n even. De serie weergave van oneven getallen is (2n + 1). Wanneer n = 0, deze term gelijk aan 1; wanneer n = 1, deze term gelijk aan 3 enzovoorts tot in het oneindige. In dit voorbeeld, gebruiken deze voorstelling voor de exponenten van x en de faculteiten in de noemer



Gebruik de representatie van de functie in plaats van de oorspronkelijke functie. Voor geavanceerder en moeilijker vergelijkingen, kan een Taylorreeksen een onoplosbaar vergelijking oplosbaar maken, of althans een redelijke numerieke oplossing.

Share This Post